Contrôle et estimation en temps fini de certaines classes d'EDP

Abstract

L'objectif principal de cette thèse est d'explorer et d'analyser les problèmes d'estimation et de stabilisation non-asymptotique (en temps fini, fixe, et prescrit) de certaines classes de systèmes de dimension infinie, notamment les systèmes linéaires invariants en temps avec retards (ponctuels ou distribués) d'entrée ou de sortie et les équations aux dérivées partielles (EDP) de type réaction diffusion. Comme les résultats existants sur ces classes de systèmes sont peu nombreux, nous commençons par revoir les concepts et les résultats sur les outils non asymptotiques pour les systèmes de dimension finie. Ensuite, nous étendons ces outils pour les systèmes de dimension infinie. Dans ce contexte, nous commençons par le problème de compensation, en temps fini/fixe, des retards d'entrée et de sortie pour les systèmes LTI en utilisant la méthode du ``backstepping'' pour les EDP (avec des transformations inversibles non-linéaires et/ou variant en temps). Pour appliquer cette approche, nous reformulons le système considéré en une cascade de système EDO-EDP où la partie EDP est une équation de transport hyperbolique qui modélise l'effet du retard sur l'entrée/sortie. Ensuite, nous traitons le problème de la stabilisation frontière en temps fini/fixe d'une classe des EDP de réaction diffusion. A notre connaissance, ce problème est resté ouvert dans la littérature pendant une période considérable. Nous abordons ce problème complexe à l'aide de méthodes classiques liées aux Fonctions de Lyapunov de Contrôle (CLF). Nous donnons quelques indications sur l'extension de cette approche au problème de stabilisation entrée-état (ISS) et au problème du suivi en temps fini/fixe pour les EDP de réaction diffusion. Nous soulignons les limitations de notre méthode pour la conception des observateurs. Enfin, nous abordons le problème de la compensation, en temps prescrit, des retards d'entrée des systèmes de réaction diffusion par une commande par retour d'état basée sur un observateur en utilisant la méthode du backstepping pour les EDP. Ce problème est difficile, car il nécessite de traiter la conception des observateurs et des contrôleurs avec des gains variant en temps qui tendent vers l'infini lorsque le temps se rapproche du temps prescrit de convergence.Mots clés :