Géométrie et nouvelles W-algèbres rationnelles

Abstract

Les W-algèbres affines forment une famille riche d’algèbres vertex à un paramètre associées à un élément nilpotent d’une algèbre de Lie simple. Ce sont des structures algébriques complexes qui apparaissent dans plusieurs domaines de la physique et des mathématiques. Du fait de leur construction récente, de nombreux aspects de la théorie des W-algèbres restent méconnus.Dans cette thèse, nous étudions des W-algèbres associées à des éléments nilpotents d’algèbres de Lie de petits rangs. Nous démontrons la rationalité d’une nouvelle famille de W-algèbres, décrivons l’ensemble des modules simples sur ces dernières et étudions d’autres aspects géométriques. Nous décrivons de nouvelles variétés associées à des algèbres vertex. La géométrie de ces objets reflète souvent des propriétés algébriques importantes des algèbres vertex. Pour certaines valeurs particulières du paramètre, appelées niveaux d’effondrement, nous obtenons également de nouveaux isomorphismes remarquables de W-algèbres.