Développement et analyse de schémas d'ordre élevé pour des modèles de convection-diffusion : étude du comportement en temps long

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'approximation numérique de problèmes de convection-diffusion, potentiellement anisotropes, par des schémas d'ordre élevé sur maillages généraux. Notre objectif est de proposer des méthodes fiables, précises et efficaces : les solutions numériques doivent préserver les propriétés physiques des solutions continues (conservation de la masse, positivité des densités, comportement en temps long) tout en autorisant une large gamme de paramètres de discrétisation (pas de temps grands, maillages spatiaux généraux) et en optimisant la précision de calcul à coût donné. Les problèmes considérés sont des équations d'advection-diffusion ainsi que des systèmes couplés de dérive-diffusion qui modélisent les composants semi-conducteurs.On se concentre d'abord sur une équation d'advection-diffusion seule, pour laquelle nous proposons et analysons trois méthodes d'ordre bas de type volumes finis hybrides (HFV). Cette comparaison met en avant la nécessité d'utiliser un schéma non-linéaire afin de préserver la positivité des solutions, tant d'un point de vue théorique que numérique. On s'intéresse alors à l'approximation d'un système de dérive-diffusion, constitué de deux équations d'advection-diffusion couplées avec une équation de Poisson. Pour ce problème, on introduit un schéma non-linéaire basé sur la méthode précédente, qui préserve les bornes des densités calculées (et en particulier leur positivité) et le comportement en temps long de la solution. Ce schéma HFV pour la dérive-diffusion est ensuite comparé numériquement avec un schéma présentant des propriétés similaires basé sur la méthode volumes finis en dualité discrète (DDFV).Nous nous intéressons alors à des schémas d'ordre élevé (en espace). Ces schémas sont basés sur des méthodes de type hybride d'ordre élevé (HHO) qui peuvent être interprétées comme des extensions à l'ordre arbitraire des méthodes HFV. Nous introduisons deux méthodes pour les équations d'advection-diffusion linéaires. La première est linéaire, tandis que la seconde est non-linéaire, et permet de préserver la positivité. Pour ces deux schémas, nous prouvons l'existence de solutions discrètes et établissons des résultats de comportement en temps long. Nous confirmons également ces résultats numériquement, et mettons en avant la nécessité d'utiliser une méthode non-linéaire pour préserver la positivité. Par ailleurs, on observe que la méthode non-linéaire converge à l'ordre attendu. De plus, la montée en ordre permet un gain d'efficacité (précision de l'approximation pour un coût de calcul donné) conséquent par rapport aux méthodes d'ordre bas des premiers chapitres.Ces travaux sont complétés par l'étude de problèmes de convection-diffusion avec convection très irrégulière, effectuée en collaboration avec des physiciens durant la thèse. Les recherches menées visent à comprendre comment concevoir des diodes électroluminescentes efficaces émettant dans l'ultraviolet profond, et soulèvent divers enjeux relatifs à la modélisation, l'analyse numérique et la simulation de ces problèmes.