Actions de Bowditch et primitives-stables sur les espaces Gromov-hyperboliques

Abstract

Dans cette thèse, on s'intéresse à certaines actions du groupe libre de rang deux ainsi que du groupe fondamental de la sphère à quatre trous (isomorphe au groupe libre de rang trois) sur les espaces Gromov-hyperboliques. L'objectif est d'étudier deux sous-ensembles de représentations : les représentations de Bowditch (introduites par Bowditch en 1998) ainsi que les représentations primitives-stables (introduites par Minsky en 2010). Ces deux espaces, déjà étudiés dans le cas de représentations à valeurs dans PSL(2,C), fournissent des exemples d'ouverts de propre-discontinuité pour l'action du groupe modulaire sur la variété des caractères. Récemment, Lee et Xu d'une part, et Series d'autre part, ont montré que ces deux classes de représentations sont équivalentes dans le cas du groupe libre de rang deux agissant sur l'espace hyperbolique usuel de dimension trois. On s'intéresse dans cette thèse au cas plus général où l'action a lieu sur des espaces hyperboliques au sens de Gromov. On démontre l'équivalence entre les représentations de Bowditch et les représentations primitive-stable dans ce nouveau contexte par une preuve indépendante, et on l'établit dans le cas du groupe libre de rang deux et du groupe fondamental de la sphère à quatre trous. Cela nous conduit à mener une étude combinatoire des éléments primitifs du groupe libre de rang deux ainsi que des courbes simples sur la sphère à quatre trous et à montrer des propriétés de redondances de ces éléments. On utilise ces arguments combinatoires combinés avec des propriétés de géométrie hyperbolique grossière pour montrer l'équivalence désirée. Cela établit en conséquence l'ouverture de l'ensemble des représentations de Bowditch dans ce contexte.