Two topics in number theory : Hilbert specialization of parametrized varieties and Galois module structure of the square root of the inverse different

Abstract

Dans cette thèse, nous traitons de deux sujets en théorie des nombres : la spécialisation de Hilbert devariétés paramétrées et la structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente d’extensions non abéliennesmétacycliques.La spécialisation de Hilbert est un outil important en Géométrie Arithmétique et en Arithmétique des Corpsqui a généralement été appliqué aux polynômes, donc aux hypersurfaces, et en valeurs scalaires. Dans la premièrepartie de cette thèse, nous étendons cet outil aux idéaux premiers, donc aux variétés affines. Nous donnonsensuite une application à l’étude de l’irréductibilité de l’intersection des variétés. Enfin, encouragé par desrésultats récents, nous considérons la situation plus générale dans laquelle la spécialisation est faite en des valeurspolynomiales, au lieu de valeurs scalaires.Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudierons la structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente.Étant donné un corps de nombres K et un groupe Γ, nous considérons une extension de Galois modérémentramifiée N/K à groupe de Galois isomorphe à Γ. Si nous prenons Γ d’ordre impair, nous pouvons définir un idéalfractionnaire de N qu’on appele la racine carrée de la codifférente AN/K. Cet idéal fractionnaire est ambige, il peutdonc être muni de manière naturelle d’une structure de OK[Γ]-module. De plus, c’est un OK[Γ]-module localementlibre. Donc nous pouvons considérer sa classe [AN/K] dans Cl(OK[Γ]), le groupe des classes des OK[Γ]-moduleslocalement libres. Maintenant, soient M un OK-ordre maximal dans l’algèbre semi-simple K[Γ] contenant OK[Γ]et Cl(M) son group des classes. Ainsi, on peut considérer la classe [MOK[Γ] AN/K] dans Cl(M). On note R(A,OK[Γ]) et R(A,M) l’ensemble de toutes les classes [AN/K] et [MOK[Γ] AN/k], respectivement, lorsque N varie parmi toutes les extensions modérément ramifiées de K à groupe de Galois isomorphe à Γ. On conjecture que R(A,OK[Γ]) et R(A,M) sont des sous-groupes de Cl(OK[Γ]) et Cl(M), respectivement. Sous des hypothèsesappropriées, nous prouvons d’abord que R(A,M) est un sous-groupe de Cl(M) lorsque Γ est un groupe cycliqued’ordre un nombre premier impair. Ensuite, quand Γ est un groupe métacyclique non abélien d’ordre impairlq, pour q un premier impair, on définit un sous-ensemble de R(A,M) et, en utilisant le premier résultat, nousdémontrons qu’il est un sous-groupe de Cl(M).