Cohomologie étale $p$-adique des domaines de périodes

Abstract

On calcule la cohomologie étale $p$-adique (et de $p$-torsion) à support compact des espaces de périodes sur les corps locaux, attachés à un isocristal basique et à un groupe réductif quasi-déployé. Comme pour les coefficients $\ell$-adiques (et de $\ell$-torsion), avec $\ell \neq p$, considérés par Orlik, les résultats font apparaître des représentations de Steinberg généralisées.Dans le cas de $p$-torsion, on suit la méthode d'Orlik, le nouvel ingrédient clé étant le calcul des groupes d'extensions entre deux représentations de Steinberg généralisées modulo $p$.Dans le cas $p$-adique, contrairement à Orlik, nous n'utilisons pas la cohomologie étale à support compact à la Huber, car elle fournit des espaces beaucoup trop gros. À la place, nous utilisons la cohomologie continue à support compact.