Ondes progressives de l'équation de Gross-Pitaevskii non locale : analyse et simulations

Abstract

Cette thèse est consacrée à l’étude des ondes progressives de l’équation Gross–Pitaevskii non localeavec des conditions non nulles à l’infini. L’équation de Gross–Pitaevskii est une équation hamiltonienneapparaissant dans divers domaines de la physique tels que l’optique non linéaire, la superfluidité ou lacondensation de Bose-Einstein. L’étude des ondes progressives pour l’équation de Gross–Pitaevskii faitl’objet de nombreux travaux depuis les résultats de Jones et Roberts en 1982, principalement dans lecas local. Afin de modéliser des interactions plus réalistes, il est intéressant de considérer l’équation deGross–Pitaevskii non locale. Avant de traiter la question des ondes progressives, on consacre le premierchapitre à l’étude des conditions non nulles à l’infini d’un point de vue numérique et théorique, dans lecas de l’équation de Schrödinger linéaire. Nous montrons que la solution de l’équation linéaire présenteun comportement asymptotique quasi-universel dans ce cas, ce que l’on illustre numériquement. Ensuite,nous montrons que, pour une famille d’interaction non locales, il existe une branche d’ondes progressivesnon triviales, orbitalement stable, en dimension 1. Notre résultat généralise le cas local et la preuveest basée sur un argument de minimisation sous contraintes, l’étude de la courbe minimisante et leprincipe de concentration compacité. En outre, on généralise les propriétés de la courbe minimisanteen dimension N, dans le cas non local. Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons une méthodede gradient avec projection en dimension 1 et une méthode de pénalisation en dimension 2 afin decalculer numériquement les ondes progressives et la courbe d’énergie pour certains noyaux. Dans cesdeux méthodes, l’utilisation de la transformée de Fourier rapide est cruciale afin de traiter l’interactionnon locale.