Étude de la Conjecture de Syracuse et des opérateurs de Bishop du point de vue de la dynamique linéaire

Abstract

Nous nous intéressons dans cette thèse à deux célèbres problèmes ouverts, que sont la conjecture de Syracuse et le Problème du sous-espace invariant.Nous les étudierons du point de vue de la dynamique linéaire.La dynamique linéaire consiste en l'étude du comportement des itérés d'un opérateur linéaire continu agissant sur un espace de Banach ou de Fréchet.Cette théorie comprend notamment les notions de cyclicité, qui requiert l'existence d'orbites engendrant un sous-espace dense, ou d'hypercyclicité, qui requiert plus précisément l'existence d'orbites denses.La conjecture de Syracuse affirme que les orbites de l'application de Collatz, qui agit sur les entiers, contiennent toutes le point 1.Afin d'adopter le point de vue de la dynamique linéaire, nous associons à l'application de Collatz un opérateur sur un espace de fonctions holomorphes et étudions ses propriétés dynamiques.Nous généralisons les résultats obtenus par Neklyudov et montrons notamment que cet opérateur est hypercyclique sans condition supplémentaire concernant l'application de Collatz.Le problème du sous-espace invariant dans le cadre Hilbertien s'intéresse au fait que tout opérateur linéaire et continu, agissant sur un espace de Hilbert complexe, séparable et de dimension infinie, puisse admettre un sous-espace fermé invariant non-trivial.La famille des opérateurs de Bishop sur [dollar]L ^ 2([0, 1])[dollar], dépendant d'un paramètre réel, a un intérêt particulier dans ce contexte, car certains de ces opérateurs pourraient être de potentiels contre-exemples au problème du sous-espace invariant.Nous étudions dans cette thèse la cyclicité des opérateurs de Bishop.Nous nous basons notamment sur l'étude par Chalendar et Partington de leur cyclicité dans le cas rationnel pour expliciter des paramètres irrationnels rendant l'opérateur de Bishop cyclique.