Algèbres pré-Lie à puissances divisées et le groupoïde de Deligne en caractéristique positive

Abstract

Le but de cet article est de développer une théorie de la déformation contrôlée par des algèbres pré-Lie à puissances divisées sur un anneau de caractéristique positive. On prouve que toute algèbre pré-Lie à puissances divisées différentielle graduée est munie d'opérations, appelées braces à poids, que nous utilisons pour généraliser la théorie de la déformation classique contrôlée par des algèbres de Lie sur un corps de caractéristique $0$. Explicitement, on définit l'ensemble de Maurer-Cartan, ainsi que le groupe de gauge, et prouve qu'il existe une action du groupe de gauge sur l'ensemble de Maurer-Cartan. Cette nouvelle théorie de la déformation admet de plus un théorème de Goldman-Millson qui est valide sur les entiers. En guise d'application, on donne le calcul du $\pi_0$ d'un mapping space $\text{Map}(B^c(\mathcal{C}),\mathcal{P})$ où $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ sont respectivement une coopérade et une opérade convenables.