Applications des formules de traces et fonctions L

Abstract

Ce mémoire d’habilitation traite, entre autres, plusieurs problèmes de la théorie des formes automorphes. Dans le premier chapitre on s’intéresse aux propriétés statistiques des valeurs propres des opérateurs de Hecke dans la situation du demi-espace supérieur et celui des formes automorphes de rang 3. Le Chapitre 2 concerne la formule de traces pour des opérateurs de Hecke dans la situation du demi-espace supérieur et ses applications aux nombres de classes. Le Chapitre 3 est consacré aux formes modulaires à valeurs vectorielles associées à la représentation de Weil. Dans le Chapitre 4 on décrit quelques résultats pour le comportement asymptotiques des nombres de classes des formes quadratique indéfinie regroupés suivant la taille du régulateur. On présente également des résultats pour leur moments. Le Chapitre 5 traite le problème de l’unique ergodicité quantique pour des séries d’Eisenstein. On présente des résultats pour des séries d’Eisenstein de poids pour le sous-groupe de congruence de Hecke et le lien avec des séries multiples de Dirichlet. En plus, on décrit quelques résultats pour les états de scattering pour la surface modulaire. Enfin, le Chapitre 6 concerne le problème de non-annulation de fonctions L et on y décrit un résultat pour le comportement asymptotique d’un produit des fonctions L associées à des formes modulaires dans le cas où le poids des formes modulaires varie.