Calcul des solutions polynomiales et des annulateurs d’opérateurs intégro-différentiels à coefficients polynomiaux

Abstract

Dans ce papier, nous étudions certains aspects algorithmiques de l’algèbre des opérateurs intégro-différentiels ordinaires linéaires à coefficients polynomiaux. Même si cette algèbre n’est pas noetherienne et admet des diviseurs de zéro, Bavula a récemment montré qu’elle était cohérente, ce qui permet le développement d’une théorie algébrique des systèmes linéaires sur cette algèbre. Pour une approche algorithmique des systèmeslinéaires d’équations intégro-différentielles ordinaires avec conditions aux bords, le calcul du noyau de matrices à coefficients dans cette algèbre est un problème fondamental. Pour cela, dans un premier temps, nous sommes amenés à calculer les annulateurs d’opérateurs intégro-différentiels, problème qui, à son tour, est relié au problème du calcul des solutions polynomiales de tels opérateurs. Pour une classe d’opérateurs linéaires incluant les opérateurs intégro-différentiels, nous présentons une approche algorithmique pour le calcul des solutions polynomiales et de l’indice. Un ensemble générateur des annulateurs à droite d’un opérateur intégro-différentiel est alors construit grâce au calcul de solutions polynomiales. Pour les problèmes avec conditions initiales, une involution de l’algèbre des opérateurs intégro-différentiels nous permet ensuite de calculer les annulateurs à gauche, qui peuvent être interprétés comme des conditions de compatibilité d’équations intégro-différentielles avec conditions aux bords. Nous illustrons notre approche à l’aide d’une implémentation dans le système de calcul formel Maple.