L'équation de Landau-Lifshitz et quelques modèles associés

Abstract

Dans ce manuscrit je présente mes recherches sur des EDP dispersives non linéaires, faites après mon doctorat. La plupart des résultats concernent l'équation de Landau-Lifshitz, qui est une équation quasi-linéaire qui décrit l'évolution du vecteur de magnétisation dans les matériaux ferromagnétiques. Cette équation est liée, en fonction de l'anisotropie, de la dispersion et de la dissipation, à plusieurs équations telles que l'équation de Schrödinger maps, l'équation de la chaleur pour les applications harmoniques et l'équation de Gross-Pitaevskii. Il existe plusieurs façons de mieux comprendre la dynamique d'une EDP. Avec mes collaborateurs, nous nous sommes concentrés sur l'étude de solutions particulières et sur la relation avec d'autres équations dans certains régimes asymptotiques pour l'équation de Landau-Lifshitz. En ce qui concerne les solutions particulières, nous avons étudié les propriétés des solitons (ondes progressives) et des solutions auto-similaires (forward et backward), telles que leur existence et stabilité. Concernant les régimes asymptotiques pour l'équation Landau- Lifshitz anisotropique, nous avons établi le lien avec l'équation de Sine-Gordon dans le cas d'une forte anisotropie planaire, et avec l'équation de Schrödinger cubique en présence d'une forte anisotropie axiale. De plus, nous avons abordé certaines questions liées au problème de Cauchy afin de préciser le cadre de nos résultats. Dans le dernier chapitre, nous avons également étudié l'équation de Gross-Pitaevskii, prenant en compte des effets non locaux dans l'énergie potentielle. En particulier, nous avons fourni quelques résultats concernant l'existence et la stabilité des solitons pour cette équation.