Echantillonnage des sous-espaces à l’aide des processus ponctuels déterminantaux.

Abstract

Les processus ponctuels déterminantaux sont des modèles probabilistes de répulsion. Ces modèles ont été étudié dans différents domaines: les matrices aléatoires, l’optique quantique, les statistiques spatiales, le traitement d’images, l’apprentissage automatique et récemment les quadratures.Dans cette thèse, on étudie l’échantillonnage des sous-espaces à l’aide des processus ponctuels déterminantaux. Ce problème se trouve à l’intersection de trois branches de la théorie d’approximation: la sous sélection dans les ensembles discrets, la quadrature à noyau et l’interpolation à noyau. On étudie ces questions classiques à travers une nouvelle interprétation de ces modèles aléatoires: un processus ponctuel déterminantal est une façon naturelle de définir un sous-espace aléatoire. En plus de donner une analyse unifiée de l’intégration et l’interpolation numériques sous les DPPs, cette nouvelle approche permet de développer les garanties théoriques de plusieurs algorithmes à base de DPPs, et même de prouver leur optimalité pour certains problèmes.