Méthodes de Krylov : régularisation de la solution et accélération de la convergence

Abstract

De nombreux problèmes de calcul scientifique réclament la résolution de systèmes linéaires. Des algorithmes récents et performants pour résoudre ces systèmes sont basés sur les méthodes de Krylov. L'espace des solutions de celles-ci est un espace de Krylov et la solution est alors définie par une condition d'orthogonalité dite de Galerkin. Dans une première partie, on modifie la définition de la solution pour la résolution de systèmes mal-conditionnés, en introduisant une nouvelle technique de régularisation basée sur des filtres polynomiaux. Le point fort de cette méthode est que la forme des filtres n'est pas fixée par la méthode mais peut être quelconque, et donc dictée par les spécificités du problème. Dans la seconde partie, on modifie l'espace des solutions pour accélérer la convergence. Deux techniques sont explorées. La première permet de recycler un espace de Krylov utilisé pour résoudre une première équation. La seconde, basée sur des techniques de déflation, cherche à atténuer l'effet néfaste des plus petites valeurs propres. Cette dernière peut, de plus, s'affiner lors de la résolution de plusieurs systèmes, jusqu'à éliminer complètement l'impact de ces petites valeurs propres. Tous ces algorithmes sont implémentés et testés sur des problèmes issus de l'analyse d'images et de la mécanique. Cette validation numérique confirme les résultats théoriques.