Quelques aspects de la géométrie en dimension infinie: théorie et applications

Abstract

Les objets que nous considérons sont des variétés de Banach ou de Fréchet en dimension infinie avec des structures géométriques supplémentaires, en particulier des structures riemanniennes ou de Poisson. Nous avons mis en évidence certaines pathologies de la géométrie de Poisson en dimension infinie qui étaient insoupçonnées, en particulier le fait qu'une structure de Poisson n'est pas nécessairement donnée par un champ de bivecteurs. Nous avons développé la théorie des groupes de Poisson-Lie de Banach de manière rigoureuse et l'avons appliquée à l'étude de la géométrie de Poisson de groupes unitaires d'un espace de Hilbert séparable construit à l'aide de classes de Schatten d'opérateurs. Cette généralisation de la théorie des groupes de Poisson-Lie est la généralisation minimale permettant de construire une structure de groupe de Poisson-Lie sur le groupe unitaire restreint et de montrer le lien avec les systèmes intégrables donnés par les hiérarchies KdV et KP. Dans ce contexte, l'espace homogène du groupe unitaire restreint, appelé Grassmannienne restreinte, est muni d'une action d'un groupe dual d'opérateurs triangulaires via des transformations dites d'habillage, et les puissances de l'opérateur de Shift génèrent les différents flots de la hiérarchie. En ce qui concerne les applications, la géométrie riemannienne de dimension infinie est utilisée dans l'analyse et la reconnaissance des formes, où l'une des tâches de base consiste à définir une distance discriminante entre différentes formes. Ici, une forme est par exemple le contour d'une personne dans une vidéo, ou une surface bidimensionnelle entourant un personnage dans un film d'animation. Nous avons étudié certaines structures riemanniennes sur des courbes et des surfaces dont la distance géodésique présente de bonnes propriétés discriminantes pour les applications. Nous avons fourni un nouveau cadre théorique, appelé cadre invariant de jauge, qui facilite l'implémentation de ces métriques riemanniennes en permettant de changer librement le paramétrage des formes, même de manière dépendante du temps.