Quelques théorèmes limites pour les matrices aléatoires, les processus non gaussiens et en probabilités libres

Abstract

Cette thèse se compose de trois parties distinctes et se concentre à la fois sur l'analyse stochastique commutative et non commutative. La première partie de ce travail portera sur l'étude des matrices aléatoires de type Wishart via la méthode de Malliavin-Stein et de l'analyse sur l'espace de Wiener. En effet, dans un premier temps, nous analysons le comportement limite de matrices aléatoires de type Wishart associées à une matrice aléatoire de taille "n x d" sous diverses hypothèses. Plus particulièrement, nous supposons tout d'abord que les entrées de cette matrice vivent dans les chaos de Wiener, sont toutes indépendantes entre elles, et ont même moments d'ordre deux et quatre. Nous montrons, en utilisant la méthode de Malliavin-Stein, que proprement renormalisé, les fluctuations de la matrice de Wishart autour de sa moyenne sont gaussiennes et nous obtenons une estimation quantitative pour la distance de Wasserstein matricielle entre la matrice renormalisée et sa matrice limite qui se compose de variables gaussiennes. Nous généralisons ensuite ce premier résultat dans le cas d'entrées très générales, avec des entrées possiblement non identiquement distribuées, celles-ci s'exprimant comme une intégrale de Skorohod. Sous une condition d'indépendance forte et de régularité au sens de Malliavin, nous obtenons aussi une estimation quantitative de la distance Wasserstein matricielle entre la matrice de Wishart et sa matrice limite.Dans un second temps, nous explorons une hypothèse alternative à l'indépendance totale pour les matrices de Wishart, nous supposons de plus que les entrées ne sont pas gaussiennes. Nous étudions le comportement limite de la matrice de Wishart lorsque la matrice initiale associée possède une certaine structure de corrélation qui se concentre sur les lignes. Les entrées de cette dernière étant des accroissements de processus d'Hermite (processus non-gaussien, auto-similaire). Nous obtenons ici une matrice limite, qui est composée par des variables aléatoires non-gaussiennes, et nous évaluons de même la distance Wasserstein matricielle.Notre étude des matrices aléatoires se termine par l'obtention de bornes de type Berry-Esseen en distance de Wasserstein pour des déterminants aléatoires.Dans la seconde partie, nous définirons deux types d'intégrales stochastiques pour une classe de processus auto-similaires, non-gaussiens, pouvant avoir des trajectoires "rugueuse" : les processus d'Hermite généralisé. Nous étudierons ensuite le processus d'Ornstein-Uhlenbeck ("GHOU") associé à ce bruit et nous montrons que lorsque le drift du processus "GHOU" tend vers zéro, ce dernier converge dans un certain sens vers le processus d'Hermite généralisé lui-même.Finalement, dans cette dernière partie consacrée aux probabilités libres, nous généralisons une estimation quantitative au cas multidimensionnel pour l'analogue libre de la distance Wasserstein associé au coût quadratique entre un vecteur composé par des intégrales multiples de Wigner-Itô auto-adjointes et une famille semi-circulaire de matrice de covariance strictement positive. Nous appliquons ce résultat à diverses situations, et nous traitons notamment le cas de la vitesse de convergence pour le théorème central limite multivarié de Breuer-Major pour le mouvement Brownien fractionnaire non commutatif.