Constructions bar cycliques et topologie de basse dimension

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions les objets cycliques et leurs interactions avec les invariants quantiques et les théories des champs topologiques. La cohomologie cyclique des algèbres a été introduite dans les années 80, indépendamment par Connes et Tsygan. Un objet (co)cyclique dans une catégorie est un objet (co)simplicial muni d'actions compatibles des groupes cycliques. D'autre part, la topologie quantique est née après la découverte par Jones (1984) d'un nouvel invariant polynomial des nœuds et des entrelacs, qui fut rapidement relié aux groupes quantiques introduits par Drinfeld (1985) et aux méthodes de la théorie quantique des champs par Witten (1989). Une construction fondamentale d'une théorie des champs topologique (TQFT) en dimension 3 est la construction de Reshetikhin-Turaev.Du point de vue algébrique, nous étudions les objets paracycliques et cycliques associés aux algèbres et cogèbres catégoriques. Dans le cas des algèbres de Hopf, en s'appuyant sur les travaux de Khalkhali-Pourkia, nous étudions une généralisation tressée de la construction de Connes-Moscovici. En particulier, nous décrivons une version catégorique de la trace de Connes-Moscovici. De plus, nous étendons la construction de Connes-Moscovici au cas des coefficients dans les bi(co)modules sur les algèbres de Hopf catégoriques.Du point de vue topologique, nous munissons les string links d'une structure d'ensemble (co)cyclique. Ceci est inspiré par les constructions bar cycliques tressées associées à la coend d'une catégorie enrubannée, qui est une algèbre de Hopf catégorique. De plus, nous montrons que la famille des surfaces fermées orientées de genre g admet une structure d'objet (co)cyclique dans la catégorie des 3-cobordismes. Par conséquent, toute TQFT de dimension 3 induit un espace vectoriel (co)cyclique. Nous le calculons algébriquement pour la TQFT de Reshetikhin-Turaev.