Connexions paraboliques et champ des racines

Abstract

Le cadre du sujet est la géométrie algébrique, plus précisément on s'intéresse au comportement à l'infini des fibrés vectoriels sur les variétés algébriques munies d'un diviseur à croisements normaux simples. Ceux-ci peuvent être équipés d'une connexion à pôles logarithmiques, d'une part, ou bien d'une structure parabolique, d'autre part. Lorsque ces deux données sont compatibles, on parle de connexion parabolique. Les connexions logarithmiques sont apparues pour la première fois sur les courbes dans les travaux de C.Simpson sur la théorie de Hodge non abélienne, et leurs espaces de modules font toujours l'objet d'intenses recherches.Dans cette thèse, on montre dans un premier temps que les connexions paraboliques peuvent être interprétées, via une correspondance de type Fourier, comme des connexions logarithmiques sur certaines orbifoldes, les champs des racines du diviseur considéré. Cette étape requiert à la fois une définition globale des différentielles logarithmiques due à M.Olsson, et aussi la description des connexions comme sections de l'extension d'Atiyah.Dans un deuxième temps, on définit les connexions fortement paraboliques comme étant celles dont les poids de la structure parabolique sont les morphismes induits par les résidus de la connexion sur les quotients de la filtration définissant la structure parabolique.On prouve ensuite que la connexion sous-jacente à une connexion fortement parabolique est à résidus semi-simples et qu'elle permet de reconstruire la structure parabolique. Ce résultat est inspiré de travaux de Iyer-Simpson.On montre finalement que la condition de forte parabolicité d'une connexion parabolique correspond à l'holomorphie de la connexion logarithmique champêtre correspondante. Ce théorème généralise en dimension quelconque un résultat de Biswas-Majumder-Wong et Loray-Saito-Simpson sur les courbes. On traduit finalement le théorème de reconstruction dans le cadre des champs algébriques.