Approximation numérique entropique pour des systèmes de diffusion croisée issus de la physique

Abstract

Dans cette thèse, on s’intéresse à la modélisation et à l'analyse numérique de systèmes physiques à diffusion croisée. Les modèles considérés décrivent notamment les phénomènes à l’œuvre dans les batteries et lors de la fabrication de panneaux solaires. Dans les deux premiers chapitres, on étudie différents schémas pour un modèle de diffusion des ions adapté aux concentrations élevées et proposé en 2013. Le premier chapitre concerne l’étude du cas simplifié à une inconnue de concentration. On y propose quatre schémas volumes finis à deux points pour lesquels on démontre l’existence de solutions physiquement réalistes, puis la convergence de ces solutions approchées vers une solution faible du problème continu pour deux des quatre schémas. Dans le deuxième chapitre, on s’attaque à une variante sans pression du problème multi-espèces de 2013 avec les deux schémas validés lors du premier chapitre. On y démontre à nouveau l’existence de solutions approchées. Sous réserve de non-disparition du solvant, on démontre enfin la convergence de ces solutions. Les phénomènes de diffusion croisée amènent à définir une notion de coercivité assez minimale. Dans un second temps, on s’intéresse à d’autres mécanismes de dissipation de l’énergie libre. On se penche d'abord sur des variantes au problème étudié dans les ceux premiers chapitres. Ces variantes sont obtenues par des techniques de modélisation variationnelle. Ce choix de modélisation permet un traitement naturel de la pression lorsqu’elle fait partie du modèle. Quelques simulations numériques mettent en exergue les différences de comportements de ces modèles à hautes concentrations. Enfin, le dernier chapitre traite d'un modèle mathématique de diffusion à l’œuvre dans la fabrication de certains panneaux solaires. On y représente un système de diffusion croisée comme une perturbation de l’équation de la chaleur. Le traitement de la perturbation repose explicitement sur la construction d’une concentration d’interface, technique introduite dans les chapitres précédents et qui permet d’étendre des méthodes d’analyse pour les schémas centrés à des schémas plus généraux. Cette technique permet de démontrer la préservation de dérivations discrètes.