Rigidité pour un modèle de goutte liquide ...
Document type :
Compte-rendu et recension critique d'ouvrage
DOI :
Title :
Rigidité pour un modèle de goutte liquide en 2D avec des noyaux de moments finis et dans le régime des grandes masses
Author(s) :
Merlet, Benoît [Auteur]
Reliable numerical approximations of dissipative systems [RAPSODI]
Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 [LPP]
Pegon, Marc [Auteur]
Reliable numerical approximations of dissipative systems [RAPSODI]
Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 [LPP]
Reliable numerical approximations of dissipative systems [RAPSODI]
Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 [LPP]
Pegon, Marc [Auteur]
Reliable numerical approximations of dissipative systems [RAPSODI]
Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 [LPP]
Journal title :
Journal de l'École polytechnique — Mathématiques
Pages :
63-100
Publisher :
École polytechnique
Publication date :
2021-11-10
ISSN :
2429-7100
HAL domain(s) :
Mathématiques [math]/Equations aux dérivées partielles [math.AP]
Mathématiques [math]/Physique mathématique [math-ph]
Mathématiques [math]/Optimisation et contrôle [math.OC]
Mathématiques [math]/Physique mathématique [math-ph]
Mathématiques [math]/Optimisation et contrôle [math.OC]
French abstract :
Motivé par l’étude du modèle de goutte liquide de Gamow dans le régime des grandes masses, nous considérons un problème isopérimétrique dans lequel le périmètre classique $P(E)$ est remplacé par $P(E)-\gamma P_\varepsilon(E)$, ...
Show more >Motivé par l’étude du modèle de goutte liquide de Gamow dans le régime des grandes masses, nous considérons un problème isopérimétrique dans lequel le périmètre classique $P(E)$ est remplacé par $P(E)-\gamma P_\varepsilon(E)$, où $0<\gamma<1$ et $P_\varepsilon$ est une énergie non-locale telle que $P_\varepsilon(E)\to P(E)$ lorsque $\varepsilon$ tend vers zéro. Nous montrons que pour $\varepsilon$ assez petit les minimiseurs à aire fixée sont les disques.Pour cela, nous établissons d'abord qu'en dimension $2$, les minimiseurs sont convexes dès que $\varepsilon$ est suffisamment petit. Ceci implique que le bord d’un minimiseur est une petite perturbation Lipschitz d’un cercle. Puis, par un argument à la Fuglede, nous prouvons (en dimension arbitraire $n\geq 2$) que si un minimiseur à volume fixé est une perturbation d’une boule au sens précédent, alors c’est une boule.Ce problème isopérimétrique est équivalent à une généralisation du modèle de goutte liquide pour le noyau atomique introduit par Gamow lorsque le potentiel répulsif non-local est donné par un noyau suffisamment intégrable. Dans cette formulation, notre résultat principal indique que si le premier moment du noyau est inférieur à un seuil explicite, il existe une masse critique $m_0$ telle que les minimiseurs de masse prescrite $m>m_0$ sont les disques. Ceci contraste fortement avec le cas classique des noyaux de Riesz, où le problème n'admet pas de minimiseur au-delà d'une masse critique.Show less >
Show more >Motivé par l’étude du modèle de goutte liquide de Gamow dans le régime des grandes masses, nous considérons un problème isopérimétrique dans lequel le périmètre classique $P(E)$ est remplacé par $P(E)-\gamma P_\varepsilon(E)$, où $0<\gamma<1$ et $P_\varepsilon$ est une énergie non-locale telle que $P_\varepsilon(E)\to P(E)$ lorsque $\varepsilon$ tend vers zéro. Nous montrons que pour $\varepsilon$ assez petit les minimiseurs à aire fixée sont les disques.Pour cela, nous établissons d'abord qu'en dimension $2$, les minimiseurs sont convexes dès que $\varepsilon$ est suffisamment petit. Ceci implique que le bord d’un minimiseur est une petite perturbation Lipschitz d’un cercle. Puis, par un argument à la Fuglede, nous prouvons (en dimension arbitraire $n\geq 2$) que si un minimiseur à volume fixé est une perturbation d’une boule au sens précédent, alors c’est une boule.Ce problème isopérimétrique est équivalent à une généralisation du modèle de goutte liquide pour le noyau atomique introduit par Gamow lorsque le potentiel répulsif non-local est donné par un noyau suffisamment intégrable. Dans cette formulation, notre résultat principal indique que si le premier moment du noyau est inférieur à un seuil explicite, il existe une masse critique $m_0$ telle que les minimiseurs de masse prescrite $m>m_0$ sont les disques. Ceci contraste fortement avec le cas classique des noyaux de Riesz, où le problème n'admet pas de minimiseur au-delà d'une masse critique.Show less >
English abstract : [en]
Motivated by Gamow's liquid drop model in the large mass regime, we consider an isoperimetric problem in which the standard perimeter $P(E)$ is replaced by $P(E)-\gamma P_\varepsilon(E)$, with $0<\gamma<1$ and $P_\varepsilon$ ...
Show more >Motivated by Gamow's liquid drop model in the large mass regime, we consider an isoperimetric problem in which the standard perimeter $P(E)$ is replaced by $P(E)-\gamma P_\varepsilon(E)$, with $0<\gamma<1$ and $P_\varepsilon$ a nonlocal energy such that $P_\varepsilon(E)\to P(E)$ as $\varepsilon$ vanishes. We prove that unit area minimizers are disks for $\varepsilon>0$ small enough.More precisely, we first show that in dimension $2$, minimizers are necessarily convex, provided that $\varepsilon$ is small enough. In turn, this implies that minimizers have nearly circular boundaries, that is, their boundary is a small Lipschitz perturbation of the circle. Then, using a Fuglede-type argument, we prove that (in arbitrary dimension $n\geq 2$) the unit ball in $\mathbb{R}^n$ is the unique unit-volume minimizer of the problem among centered nearly spherical sets. As a consequence, up to translations, the unit disk is the unique minimizer.This isoperimetric problem is equivalent to a generalization of the liquid drop model for the atomic nucleus introduced by Gamow, where the nonlocal repulsive potential is given by a radial, sufficiently integrable kernel. In that formulation, our main result states that if the first moment of the kernel is smaller than an explicit threshold, there exists a critical mass $m_0$ such that for any $m>m_0$, the disk is the unique minimizer of area $m$ up to translations. This is in sharp contrast with the usual case of Riesz kernels, where the problem does not admit minimizers above a critical mass.Show less >
Show more >Motivated by Gamow's liquid drop model in the large mass regime, we consider an isoperimetric problem in which the standard perimeter $P(E)$ is replaced by $P(E)-\gamma P_\varepsilon(E)$, with $0<\gamma<1$ and $P_\varepsilon$ a nonlocal energy such that $P_\varepsilon(E)\to P(E)$ as $\varepsilon$ vanishes. We prove that unit area minimizers are disks for $\varepsilon>0$ small enough.More precisely, we first show that in dimension $2$, minimizers are necessarily convex, provided that $\varepsilon$ is small enough. In turn, this implies that minimizers have nearly circular boundaries, that is, their boundary is a small Lipschitz perturbation of the circle. Then, using a Fuglede-type argument, we prove that (in arbitrary dimension $n\geq 2$) the unit ball in $\mathbb{R}^n$ is the unique unit-volume minimizer of the problem among centered nearly spherical sets. As a consequence, up to translations, the unit disk is the unique minimizer.This isoperimetric problem is equivalent to a generalization of the liquid drop model for the atomic nucleus introduced by Gamow, where the nonlocal repulsive potential is given by a radial, sufficiently integrable kernel. In that formulation, our main result states that if the first moment of the kernel is smaller than an explicit threshold, there exists a critical mass $m_0$ such that for any $m>m_0$, the disk is the unique minimizer of area $m$ up to translations. This is in sharp contrast with the usual case of Riesz kernels, where the problem does not admit minimizers above a critical mass.Show less >
Language :
Anglais
Popular science :
Non
Collections :
Source :
Files
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