Rigidité pour un modèle de goutte liquide en 2D avec des noyaux de moments finis et dans le régime des grandes masses

Abstract

Motivé par l’étude du modèle de goutte liquide de Gamow dans le régime des grandes masses, nous considérons un problème isopérimétrique dans lequel le périmètre classique $P(E)$ est remplacé par $P(E)-\gamma P_\varepsilon(E)$, où $0<\gamma<1$ et $P_\varepsilon$ est une énergie non-locale telle que $P_\varepsilon(E)\to P(E)$ lorsque $\varepsilon$ tend vers zéro. Nous montrons que pour $\varepsilon$ assez petit les minimiseurs à aire fixée sont les disques.Pour cela, nous établissons d'abord qu'en dimension $2$, les minimiseurs sont convexes dès que $\varepsilon$ est suffisamment petit. Ceci implique que le bord d’un minimiseur est une petite perturbation Lipschitz d’un cercle. Puis, par un argument à la Fuglede, nous prouvons (en dimension arbitraire $n\geq 2$) que si un minimiseur à volume fixé est une perturbation d’une boule au sens précédent, alors c’est une boule.Ce problème isopérimétrique est équivalent à une généralisation du modèle de goutte liquide pour le noyau atomique introduit par Gamow lorsque le potentiel répulsif non-local est donné par un noyau suffisamment intégrable. Dans cette formulation, notre résultat principal indique que si le premier moment du noyau est inférieur à un seuil explicite, il existe une masse critique $m_0$ telle que les minimiseurs de masse prescrite $m>m_0$ sont les disques. Ceci contraste fortement avec le cas classique des noyaux de Riesz, où le problème n'admet pas de minimiseur au-delà d'une masse critique.