Compléments sur les extensions entre séries principales $p$-adiques et modulo $p$ de $G(F)$

Abstract

Nous complétons les résultats de [?]. Soit $G$ un groupe réductif connexe déployé sur une extension finie $F$ de $\mathbb{Q}_p$. Lorsque $F=\mathbb{Q}_p$, nous déterminons les extensions entre séries principales $p$-adiques et modulo $p$ de $G(\mathbb{Q}_p)$ sans supposer le centre de $G$ connexe ou le groupe dérivé de $G$ simplement connexe. Cela fait apparaître un phénomène nouveau : il peut exister plusieurs extensions non scindées non isomorphes entre deux séries principales distinctes. Nous complétons aussi les calculs d'auto-extensions d'une série principale dans les cas non génériques lorsque le centre de $G$ est connexe. Nous déterminons enfin les extensions d'une série principale de $G(F)$ par une représentation « ordinaire » de $G(F)$ (c'est-à-dire obtenue par induction parabolique à partir d'une représentation spéciale tordue par un caractère). Pour cela, nous calculons le $\delta$-foncteur $\mathrm{H^{\bullet}Ord}_B(F)$ des parties ordinaires dérivées d'Emerton relatif à un sous-groupe de Borel sur une représentation ordinaire de $G(F)$.