Conception et analyse de schémas non-linéaires pour la résolution de problèmes paraboliques : application aux écoulements en milieux poreux

Abstract

L'objectif de cette thèse est de concevoir et d'analyser des schémas numériques performants pour la simulation d'écoulements complexes en milieux poreux. Ces écoulements représentent un domaine de recherche à la fois d'un grand intérêt scientifique et d'une grande importance pour la pratique de part leur vaste domaine d'applications.Dans un premier temps nous proposons un schéma CVFE (Control Volume Finite Element) non-linéaire pour approcher la solution de l'équation de Richards anisotrope. Les degrés de liberté sont affectés aux sommets du maillage triangulaire primal tandis que les équations de bilan sont discrétisées sur un maillage dual barycentrique. La mobilité d'arête est gérée à l'aide d'une procédure de décentrement qui autorise les transmissivités négatives et donc les pertes de monotonie. Nous montrons d'abord que ce schéma est non-linéairement stable grâce à un contrôle de l'énergie physique, qu'il admet (au moins) une solution discrète et que la saturation est bornée entre 0 et 1. Ensuite nous montrons sous hypothèse faible de régularité sur le maillage que la solution discrète converge vers la solution faible du problème continu. Enfin, en vue de mettre en évidence l'efficacité, la stabilité et la robustesse de la méthode, nous réalisons des tests numériques dans des cas isotropes et anisotropes.Dans un second temps nous nous intéressons à un modèle d'intrusion saline. Pour ce modèle nous discrétisons la partie temporelle à l'aide du schéma d'Euler implicite et la discrétisation en espace repose sur un schéma volumes finis à deux points avec un décentrement des mobilités d'arêtes. Pour ce schéma nous montrons qu'il préserve au niveau discret les principales propriétés du problème continu : l'existence de solutions discrètes positives, la décroissance de l'énergie et le contrôle de l'entropie et sa dissipation. En se basant sur ces résultats, nous montrons que la solution discrète converge vers la solution faible du problème continu. De plus, nous illustrons numériquement le comportement du modèle.Le dernier chapitre est dédié à l'étude du comportement en temps long d'un modèle d'intrusion saline. Il s'agit d'identifier les états d'équilibres qui sont les minimiseurs d'une énergie convexe. Nous montrons pour le problème continu l'existence et l'unicité des minimiseurs de la fonctionnelle d'énergie, que les minimiseurs sont des états stationnaires et que ces états stationnaires sont radiaux et uniques. Pour différents jeux de paramètres, nous donnons une illustration numérique des états stationnaires et nous exhibons le taux de convergence.