Le processus de droites de Poisson impropre génère un SIRSN en toute dimension

Abstract

Aldous a introduit la notion de réseau spatial aléatoire invariant d'échelle (SIRSN: scale-invariant random spatial network) pour formaliser les réseaux routiers. Intuitivement, ce sont des processus aléatoires qui assignent un itinéraire entre chaque paire de points de l'espace euclidien, en étant invariant par rotation, translation, et changement d'échelle, et tels que les itinéraires ne soient pas trop longs et emprutent principalement des «autoroutes».Le seul exemple connu était un peu artificiel comme l'invariance devait être ajoutée à la fin de la construction. Nous prouvons que le réseau des géodésiques de l'espace métrique aléatoire généré par un processus de droites de Poisson marquées par des vitesses limite en loi de puissance est un SIRSN, en toute dimension.Ce faisant, nous établissons des bornes comparant le diamètre des boules euclidiennes et des boules pour notre espace métrique. Nous montrons également qu'en dimension au moinss trois, les géodésiques ont «plein de directions» près de tout point où elles ne sont pas droites.