Stability and instability of the quasilinear Gross-Pitaevskii dark solitons

Abstract

Nous étudions une équation de Schr\"odinger quasilinéaire avec des conditions non nulles à l'infini. Lors de travaux antérieurs, nous avons obtenu une branche continue d'ondes progressives, donnée par des solitons sombres indexés par leur vitesse de propagation. En négligeant le terme quasilinéaire on retrouve l'équation de Gross--Pitaevskii pour laquelle la branche de solitons sombre est stable. De plus, Z.~Lin a démontré que le critère de stabilité de Vakhitov--Kolokolov~(VK) (en termes du moment des solitons) s'applique à une large classe d'équations semilinéaires avec conditions non-nulles à l'infini. Dans le cas quasilinéaire, nous démontrons que le critère de stabilité VK s'applique toujours, en généralisant les arguments de Lin. Nous en déduisons que la branche de solitons sombre est stable pour des interactions quasilinéaires faibles. Pour des interaction quasilinéaires plus fortes, un point de rebroussement apparait sur le diagramme énergie-moment impliquant la stabilité des ondes rapides et l'instabilité des ondes lentes.