Dynamique de feuilletages holomorphes singuliers hyperboliques

Abstract

Nous étudions dans cette thèse une théorie dynamique et ergodique pour des feuilletages holomorphes singuliers hyperboliques. Nous poursuivons les travaux de Dinh, Nguyên et Sibony qui proposent de considérer la distance dans l'uniformisation des feuilles comme temps canonique. Nous élargissons quelques-uns de leurs théorèmes de singularités linéarisables à des singularités non-dégénérées. Une grande partie de nos raisonnements est fondée sur l'application du lemme de Grönwall et de ses généralisations ; ainsi que sur une estimation de la métrique de Poincaré autour de singularités non-dégénérées due à Canille Martins et Lins Neto.Nous donnons d'abord une introduction aux diverses approches et résultats généraux de la théorie des feuilletages. Ensuite, nous discutons de la métrique de Poincaré d'un feuilletage holomorphe singulier hyperbolique par l'étude du module d'uniformisation de Verjovsky. Nous déterminons un module de continuité de cette fonction dans le cas d'un feuilletage Brody-hyperbolique sur une variété complexe compacte aux singularités non-dégénérées. Cette condition est générique pour un feuilletage de degré au moins 2 sur un espace projectif. Après quoi, nous reproduisons la construction de deux semi-groupes d'opérateurs de diffusion de la chaleur, puis montrons leur identité sous les mêmes hypothèses que le module de continuité. Enfin, nous nous penchons sur la notion d'entropie introduite par Dinh, Nguyên et Sibony pour les feuilletages hyperboliques. Nous établissons la finitude de cette entropie pour un feuilletage Brody-hyperbolique sur une surface compacte aux singularités non-dégénérées.