Méthodes numériques hybrides cinétique/fluide et préservant la structure pour des équations cinétiques collisionnelles

Abstract

Cette thèse porte sur le développement et l'analyse de méthodes numériques performantes pour l'approximation des solutions d'équations cinétiques collisionnelles éventuellement non linéaires. Ces équations apparaissent dans divers domaines tels que la physique, notamment dans l'étude des semi-conducteurs et de la dynamique des gaz. Elles apparaissent aussi en biologie dans la modélisation du mouvement de cellules dans un tissu. Ces modèles présentent un aspect multi-échelle. D'une part, on a une description mésoscopique (ou cinétique) qui donne l'évolution de la fonction de distribution des particules, molécules ou cellules. D'autre part, par un processus de moyennisation, on obtient l'échelle dite macroscopique (ou fluide) qui permet de suivre l'évolution de grandeurs physiques observables : les moments de la fonction de distribution. Ces derniers correspondent notamment à la densité, la vitesse moyenne et la température des particules considérées. Nous présentons dans ce manuscrit différentes façons de tirer partie de la dynamique fluide afin de construire et étudier des méthodes numériques efficaces pour l'échelle cinétique.Dans la première partie, nous explorons des méthodes de discrétisation visant à préserver la structure des équations continues. Nous commençons par introduire un schéma volumes finis implicite en temps pour un modèle cinétique de réaction non linéaire. Nous étudions le comportement en temps long de la solution discrète par une méthode d'hypocoercivité. Ensuite, nous examinons une méthode spectrale, basée sur des polynômes orthogonaux généraux, capable de préserver les moments de la solution, tout en assurant de bonnes propriétés de convergence.La seconde partie est consacrée à la conception de méthodes numériques visant à réduire le coût des simulations cinétiques. Pour ce faire, nous étudions deux approches exploitant l'évolution des moments de l'inconnue. La première, une méthode dite hybride cinétique/fluide, consiste à adopter dynamiquement et localement en espace une description fluide moins coûteuse du système au lieu de la description cinétique plus onéreuse. La seconde approche repose également sur l'utilisation d'un modèle fluide, mais cette fois-ci pour accélérer les itérations temporelles de la méthode. Nous proposons ici un prototype de méthode pararéelle multi-échelle, utilisant un modèle fluide comme solveur grossier et un modèle cinétique comme solveur fin.