Surfaces hyperboliques ciliées et espaces-temps de Margulis décorés

Abstract

Les espaces-temps de Margulis sont des 3-variétés affines complètes qui ont été introduites pour montrer la nécessité de la condition de cocompacité dans la conjecture d’Auslander. Ce sont des variétés Lorentziennes qui sont obtenues par quotient d’un (2,1)-espace de Minkowski par un groupe libre qui agit proprement discontinûment par isométries affines. Goldman-Labourie-Margulis ont montré qu’un tel groupe est déterminé par une métrique hyperbolique complète sur une surface hyperbolique de type fini possiblement non-orientable, munie d’une déformation infinitésimale qui rallonge uniformément toutes les courbes fermées non-triviales de la surface. De plus, l’ensemble de toutes ces déformations infinitésimales forme un cône convexe ouvert.Danciger-Guéritaud-Kassel ont ensuite paramétré l’espace module des espaces temps de Margulis ayant une partie linéaire convexe cocompacte fixée, en utilisant le complexe des arcs “émondé”. Cette paramétrisation est obtenue en recollant des bandelettes hyperboliques infinitésimales le long d’une famille d’arcs géodésiques deux-à-deux disjoints plongés dans la surface et la découpant en disques topologiques.Nous généralisons ce résultat pour les surfaces hyperboliques complètes d’aire finie avec des cils décorés par des horoboules. Ces dernières surfaces sont étroitement liées aux espaces-temps de Margulis décorés par un nombre fini de droites affines de types lumière deux-à-deux disjointes. Nous prouvons également le résultat analogue pour les surfaces hyperboliques ciliées non-décorées. En outre, nous montrons que l’espace entier des déformations infinitésimales de chacune des trois “petites” surface (les polygones idéaux, les polygones une fois épointés, et les polygones une fois troués) sont paramétré par leurs complexes des arcs. Enfin, nous généralisons les polygones compacts hyperboliques pour inclure des sommets hyperboliques (troncatures de points hyper-idéaux) et des sommets paraboliques (points idéaux décorés par des horoboules). Nous prouvons que l’espace de déformations d’un tel polygone est homéomorphe à une boule ouverte. Nous montrons également que le sous-espace de l’espace de toutes les déformations infinitésimales, constitué de celles qui rallongent tous les arcs diagonaux et toutes les arrêtes, est paramétré par le complexe des arcs émondé de la surface, en recollant des bandelettes hyperboliques, elliptiques et paraboliques.