Une approche par le calcul formel de la stabilité asymptotique des systèmes linéaires différentiels à retards commensurables

Abstract

Ce papier a pour but l’étude de la stabilité asymptotique des systèmes différentiels linéaires à retards commensurables de type retardé. Dans l’approche fréquentielle, il est bien connu que la stabilité asymptotique d’un tel système est assurée par la condition que les racines du quasipolynôme correspondant ont des parties réelles négatives. Une approche classique pour tester cette condition consiste à calculer l’ensemble des zéros critiques du quasipolynôme, c’est-à-dire les racines (et les retards correspondants) du quasipolynôme qui sont sur l’axe imaginaire, et d’analyser la variation de ces racines par rapport à la variation du retard [16]. Suivant cette approche, et en nous basant sur des techniques de résolution de systèmes algébriques, nous proposons un algorithme symbolique-numérique efficace et certifié pour le calcul de l’ensemble des racines critiques d’un quasipolynôme. De plus, en utilisant des résultats algorithmiques récents développés par la communauté du calcul formel, nous présentons un algorithme efficace pour le calcul des séries de Puiseux en une racine critique nous permettant d’analyser finement la stabilité du système par rapport à la variation du retard [15]. Nous donnons des exemples explicites qui illustrent nos algorithmes.