Opérateurs de Toeplitz et opérateurs de composition sur les espaces de de Branges-Rovnyak

Abstract

Cette thèse est consacrée à l’étude des opérateurs de Toeplitz et des opérateursde composition sur les espaces de de Branges-Rovnyak H(b), qui sont une classed’espaces de Hilbert de fonctions analytiques dans le disque unité ouvert D duplan complexe, paramétrée par une fonction b dans la boule unité de H∞. Cesespaces ont été introduits, dans les années 60, pour construire un modèle pourles contractions sur un espace de Hilbert, mais on s’est aperçu depuis qu’ilsavaient un rôle important à jouer dans de nombreuses questions de théorie desopérateurs et de théorie des fonctions d’une variable complexe.Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés, d’une part, à l’étude desopérateurs de Toeplitz T¯φ, où φ ∈ H∞, qui agissent de façon borné sur H(b).Nous avons donné quelques estimations de la norme de ces opérateurs, puis nousavons obtenu une caractérisation de la compacité. Nous avons également étudiéla dynamique de ces opérateurs, en donnant une caractérisation de l’hypercyclicitéet en construisant un vecteur cyclique commun. Comme souvent dansla théorie des espaces de de Branges-Rovnyak, ces propriétés vont dépendre dufait que log(1 − |b|) est intégrable ou non sur T. Nous avons ainsi généralisé uncertain nombre de résultats connus pour les opérateurs de Toeplitz standardTφ définis sur H² et les opérateurs de Toeplitz tronqué Aθφ définis sur l’espacemodèle Kθ = H(θ) (correspondant au cas où b = θ est une fonction intérieure).D’autre part, nous nous sommes également intéressés à une autre classed’opérateurs naturels, à savoir les opérateurs de composition sur H(b). Dansle cas, où la fonction b est une fonction rationnelle et telle que log(1 − |b|) estintégrable sur T, nous avons caractérisé la bornitude et la compacité des opérateursde composition Cφ sur H(b), en exploitant un lien intéressant avec lesopérateurs de composition à poids sur H². Nous avons en particulier généraliséplusieurs résultats obtenus précédemment par Sarason-Silva pour les opérateursde composition sur les espaces de Dirichlet locaux.