Sur une conjecture de Breuil–Herzig

Abstract

Soit $G$ un groupe réductif p-adique de centre connexe et de groupe dérivé simplement connexe. Nous montrons que certaines “chaînes” de séries principales de $G$ n’existent pas et nous établissons plusieurs propriétés de la construction $\Pi(\rho)^{\mathrm{ord}}$ de Breuil–Herzig. En particulier, nous obtenons une caractérisation naturelle de cette dernière et nous démontrons une conjecture de Breuil–Herzig. Pour cela, nous calculons le $\delta$-foncteur $\mathrm{H^{\bullet}Ord}_{P}$ des parties ordinaires dérivées d’Emerton relatif à un sous-groupe parabolique $P$ de $G$ sur une série principale. Nous énonçons une nouvelle conjecture sur les extensions entre représentations lisses modulo $p$ de $G$ obtenues par induction parabolique à partir de représentations supersingulières de sous-groupes de Levi de $G$ et nous la démontrons pour les extensions par une série principale.