Ondes progressives de l'équation de ...
Document type :
Thèse
Title :
Ondes progressives de l'équation de Gross-Pitaevskii non locale : analyse et simulations
English title :
Traveling waves of the nonlocal Gross-Pitaevskii equation: analysis and simulations
Author(s) :
Mennuni, Pierre [Auteur]
Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 [LPP]
Méthodes quantitatives pour les modèles aléatoires de la physique [MEPHYSTO-POST]
Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 [LPP]
Méthodes quantitatives pour les modèles aléatoires de la physique [MEPHYSTO-POST]
Thesis director(s) :
Stephan De Bièvre
André de Laire
Guillaume Dujardin
André de Laire
Guillaume Dujardin
Defence date :
2019-11-04
Accredited body :
Université de Lille
Keyword(s) :
Stabilité orbitale
EDP non linéaires
Ondes progressives
Méthode de gradient
Optimisation
Equation de Schrodinger
EDP non linéaires
Ondes progressives
Méthode de gradient
Optimisation
Equation de Schrodinger
English keyword(s) :
Orbital Stability
Non linear PDEs
Traveling Wave
Gradient Descent Method
Optimization Methods
Schrodinger equation
Non linear PDEs
Traveling Wave
Gradient Descent Method
Optimization Methods
Schrodinger equation
HAL domain(s) :
Mathématiques [math]
French abstract :
Cette thèse est consacrée à l’étude des ondes progressives de l’équation Gross–Pitaevskii non localeavec des conditions non nulles à l’infini. L’équation de Gross–Pitaevskii est une équation hamiltonienneapparaissant dans ...
Show more >Cette thèse est consacrée à l’étude des ondes progressives de l’équation Gross–Pitaevskii non localeavec des conditions non nulles à l’infini. L’équation de Gross–Pitaevskii est une équation hamiltonienneapparaissant dans divers domaines de la physique tels que l’optique non linéaire, la superfluidité ou lacondensation de Bose-Einstein. L’étude des ondes progressives pour l’équation de Gross–Pitaevskii faitl’objet de nombreux travaux depuis les résultats de Jones et Roberts en 1982, principalement dans lecas local. Afin de modéliser des interactions plus réalistes, il est intéressant de considérer l’équation deGross–Pitaevskii non locale. Avant de traiter la question des ondes progressives, on consacre le premierchapitre à l’étude des conditions non nulles à l’infini d’un point de vue numérique et théorique, dans lecas de l’équation de Schrödinger linéaire. Nous montrons que la solution de l’équation linéaire présenteun comportement asymptotique quasi-universel dans ce cas, ce que l’on illustre numériquement. Ensuite,nous montrons que, pour une famille d’interaction non locales, il existe une branche d’ondes progressivesnon triviales, orbitalement stable, en dimension 1. Notre résultat généralise le cas local et la preuveest basée sur un argument de minimisation sous contraintes, l’étude de la courbe minimisante et leprincipe de concentration compacité. En outre, on généralise les propriétés de la courbe minimisanteen dimension N, dans le cas non local. Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons une méthodede gradient avec projection en dimension 1 et une méthode de pénalisation en dimension 2 afin decalculer numériquement les ondes progressives et la courbe d’énergie pour certains noyaux. Dans cesdeux méthodes, l’utilisation de la transformée de Fourier rapide est cruciale afin de traiter l’interactionnon locale.Show less >
Show more >Cette thèse est consacrée à l’étude des ondes progressives de l’équation Gross–Pitaevskii non localeavec des conditions non nulles à l’infini. L’équation de Gross–Pitaevskii est une équation hamiltonienneapparaissant dans divers domaines de la physique tels que l’optique non linéaire, la superfluidité ou lacondensation de Bose-Einstein. L’étude des ondes progressives pour l’équation de Gross–Pitaevskii faitl’objet de nombreux travaux depuis les résultats de Jones et Roberts en 1982, principalement dans lecas local. Afin de modéliser des interactions plus réalistes, il est intéressant de considérer l’équation deGross–Pitaevskii non locale. Avant de traiter la question des ondes progressives, on consacre le premierchapitre à l’étude des conditions non nulles à l’infini d’un point de vue numérique et théorique, dans lecas de l’équation de Schrödinger linéaire. Nous montrons que la solution de l’équation linéaire présenteun comportement asymptotique quasi-universel dans ce cas, ce que l’on illustre numériquement. Ensuite,nous montrons que, pour une famille d’interaction non locales, il existe une branche d’ondes progressivesnon triviales, orbitalement stable, en dimension 1. Notre résultat généralise le cas local et la preuveest basée sur un argument de minimisation sous contraintes, l’étude de la courbe minimisante et leprincipe de concentration compacité. En outre, on généralise les propriétés de la courbe minimisanteen dimension N, dans le cas non local. Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons une méthodede gradient avec projection en dimension 1 et une méthode de pénalisation en dimension 2 afin decalculer numériquement les ondes progressives et la courbe d’énergie pour certains noyaux. Dans cesdeux méthodes, l’utilisation de la transformée de Fourier rapide est cruciale afin de traiter l’interactionnon locale.Show less >
English abstract : [en]
This thesis is devoted to the study of traveling waves of the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with nonzero conditions at infinity. The Gross-Pitaevskii equation is a Hamiltonian equation and arises in several areas of ...
Show more >This thesis is devoted to the study of traveling waves of the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with nonzero conditions at infinity. The Gross-Pitaevskii equation is a Hamiltonian equation and arises in several areas of quantum physics such as nonlinear optics, superfluidity and Bose-Einstein condensation. There have been extensive studies concerning the traveling waves, particularly in the local case, since the Jones-Roberts programme in 1982. In order to describe more realistic physical interactions, we consider the nonlocal Gross-Pitaevskii equation. The first chapter is devoted to the numerical and theoretical aspects of the nonzero conditions at infinity, in the case of the linear Schrödinger equation. We show that the solution of the linear equation shows a quasi-universal behaviour and we illustrate it with numerical simulations. Then, we provide conditions on the nonlocal interaction such that there exists a branch of nontrivial traveling waves. We also show that this branch is orbitally stable. Our results generalize the local case and rely on a minimisation under constraints approach, the study of the minimizing curve and a concentration-compactness argument. Moreover, we generalize the properties of the minimizing curve in dimension N. Finally, we propose and implement a gradient method in dimension 1 and a penalty method in dimension 2 to numerically compute the traveling waves and the energy curve for nonlocal potentials. In each method, the nonlocal term is treated by the Fast Fourier Transform.Show less >
Show more >This thesis is devoted to the study of traveling waves of the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with nonzero conditions at infinity. The Gross-Pitaevskii equation is a Hamiltonian equation and arises in several areas of quantum physics such as nonlinear optics, superfluidity and Bose-Einstein condensation. There have been extensive studies concerning the traveling waves, particularly in the local case, since the Jones-Roberts programme in 1982. In order to describe more realistic physical interactions, we consider the nonlocal Gross-Pitaevskii equation. The first chapter is devoted to the numerical and theoretical aspects of the nonzero conditions at infinity, in the case of the linear Schrödinger equation. We show that the solution of the linear equation shows a quasi-universal behaviour and we illustrate it with numerical simulations. Then, we provide conditions on the nonlocal interaction such that there exists a branch of nontrivial traveling waves. We also show that this branch is orbitally stable. Our results generalize the local case and rely on a minimisation under constraints approach, the study of the minimizing curve and a concentration-compactness argument. Moreover, we generalize the properties of the minimizing curve in dimension N. Finally, we propose and implement a gradient method in dimension 1 and a penalty method in dimension 2 to numerically compute the traveling waves and the energy curve for nonlocal potentials. In each method, the nonlocal term is treated by the Fast Fourier Transform.Show less >
Language :
Français
Collections :
Source :
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